Historia
La trigonometría es una ciencia antigua, ya
conocida por las culturas orientales y mediterráneas precristianas. No
obstante, la sistematización de sus principios y teoremas se produjo sólo a
partir del siglo XVI, para incorporarse como una herramienta esencial en los
desarrollos del análisis matemático moderno.
El primer uso de la función seno
aparece en el Sulba Sutras escrito
en India del siglo VIII al VI A.C. La obra de Leonard Euler Introductio
in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento
analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series
infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler".
La noción de que debería existir
alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo
siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre
sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre
la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de
larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que
expresan las funciones trigonométricas.
Las
funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía,
cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos
periódicos, y otras muchas aplicaciones.
Razones Trigonométricas
Para definir las razones
trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo
rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de
este triángulo rectángulo que se usará en lo sucesivo será:
ØLa hipotenusa (h)
es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo
rectángulo.
Todos los triángulos considerados
se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos
internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en
cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y
π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente
las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo
es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la
hipotenusa:
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto
adyacente y la longitud de la hipotenusa:
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto
opuesto y la del adyacente:
Y sus opuestos
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre
la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
5) La secante de un ángulo es la relación entre la
longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la
longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
Son las
funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones
trigonométricas a todos los números reales y complejos.
Por lo tanto, existen seis clases
de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su
inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente, las cuales surgen
de variar el ángulo α en las distintas razones trigonométricas vistas.
Concepto de función trigonométrica
Una función trigonométrica es
aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable
independiente, que ha de estar expresada en radianes
Propiedades
Como características importantes y distintivas de
las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:
- Las
funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera
que el periodo de las funciones seno y coseno es 2¶ y el de la función
tangente es ¶.
- Las funciones seno y coseno están definidas
para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas
(no así la función tangente).
- Las funciones seno y coseno están acotadas, ya
que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función
tangente no está acotada.
-
Las funciones seno y tangente son simétricas
respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la
función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.
Definición para un número real cualquiera
No es posible utilizar la
definición dada anteriormente, un coseno de α para valores de α menores o iguales a 0 o valores mayores o
iguales a π/2, pues no se podría construir un triángulo rectángulo tal que uno
de sus ángulos mida α radianes. Para definir los valores de estas funciones
para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces una circunferencia
unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano
cartesiano. Se definirán las funciones trigonométricas seno y coseno como la
abscisa y la ordenada, respectivamente, de un punto P perteneciente a la
circunferencia, siendo α el ángulo, medido en radianes, entre
el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.
http://www.youtube.com/watch?v=mwCbyObgH5Y
Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese
que para valores entre 0 y π/2, los valores obtenidos para el seno y el coseno
con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón
trigonométrica. Si el valor de x está fuera del intervalo [0,2π], puede
descomponerse como x=2kπ+x' siendo k un número entero y x' un valor entre 0 y
2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x',
ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo
tanto, las coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.
La
función seno
Se denomina función seno, y se
denota por f (x) = sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una
variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica,
acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los
números reales.
Función seno general: La función seno "generalizado" tiene la
siguiente forma:
y = A
sin[ω(x - α)] + C
·
A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).
·
C es el desplazamiento vertical (la altura le la
línea base).
·
P es el periodo o longitud de onda (el longitud de
casa ciclo).
· ω es la
frecuencia angular, y se expresa por ω= 2π/P o P = 2π/ω.
·
α es el desplazamiento de faso.
